Materialien zum Unterricht

Myas Welt der Physik: Bobby wird müde – gedämpfte Schwingungen

Auf der Seite zur harmonischen Schwingung hat Bobby, das 500-g-Hakengewicht mit Gesicht, sein großes Glück gefunden: An Opa Ferdinand, der Feder mit D = 50 N/m, schwingt er hin und her, hin und her, und zwar für immer. So steht es jedenfalls in Theos Formel s(t) = ŝ · cos(ω₀ · t). Heute Morgen hing Bobby trotzdem wieder still und schlapp an Opa Ferdinand. Gestern auch. „Jemand klaut mir meinen Schwung!“, jammert er. Mya zieht ihren Detektivmantel an und ermittelt. Die Liste der Verdächtigen ist lang: die Luft, das Wasser, der Honig von Pauls Frühstückstisch, Pauls Neodym-Magnete, die Tischplatte und sogar Opa Ferdinand selbst. Theo baut den Tatort im Computer nach, Paul testet mit seinem alten Trabi, wozu Stoßdämpfer gut sind, und Kater Erwin hat natürlich sein graues HT-Rohr dabei.

Physik Klasse 12 (Leistungskurs), Thema mechanische Schwingungen: Ursachen gedämpfter Schwingungen, Simulation von Reibungseffekten (Modellbildung), unterschiedliches Abklingverhalten. Die Sprüche sind albern, die Physik nicht: Alle Bewegungen folgen aus m · a = −D · s − F_R und werden exakt berechnet (analytisch oder mit dem Runge-Kutta-Verfahren in Schritten von 0,5 ms). Bobby: m = 500 g, an Opa Ferdinand ω₀ = 10 s⁻¹, T₀ = 0,628 s. Voraussetzung: Bobby hängt durch – harmonische Schwingungen. Weiter geht es mit Bobby dreht durch – Resonanz und dem elektromagnetischen Schwingkreis. Opa Ferdinand kennst du von der Federseite, die Gleitreibung von der Reibungsseite, die Wirbelströme von der Lenzschen Regel. Und wenn viele Bobbys gekoppelt werden: Bobby macht die Welle (mechanische Wellen).

Station 1: Tatort Stativ – wer klaut Bobbys Schwung?

Mya hebt Bobby an, lässt ihn los und schaut zu, wie er müde wird. Bei jedem Verdächtigen wirkt zusätzlich zur Federkraft eine Reibungskraft F_R, die immer gegen die Bewegungsrichtung zeigt. Sie verrichtet negative Arbeit und wandelt mechanische Energie in innere Energie um, also in Wärme. Wie stark sie ist, hängt vom Verdächtigen ab: In zähen Flüssigkeiten und bei Wirbelströmen wächst sie proportional zu v, beim Luft- und Wasserwiderstand schneller Körper ungefähr mit v², und die Gleitreibung auf dem Tisch ist (fast) konstant. Die Balken rechts zeigen, wohin Bobbys Energie verschwindet.

Reibungsgesetz–

Amplitude jetzt–

mech. Energie–

schon Wärme–

Die Verdächtigen

Versuch

ŝ₀6,0 cm

Einhüllende (Theorie) Energie statt Auslenkung

Warum höchstens 8 cm? Bobby dehnt Opa Ferdinand in Ruhe um 9,81 cm. Hebt Mya ihn höher, wäre die Feder oben ganz entspannt und das lineare Kraftgesetz gälte nicht mehr. Bei den Magneten stellst du mit b ein, wie nah Paul sie heranschiebt (F_R = b · v).

Aufträge: ① Lass Bobby bei jedem Verdächtigen los. Ordne die Verdächtigen nach der Stärke der Dämpfung. Wer ist der schlimmste Schwungdieb? ② Beobachte die Energiebalken. Wohin verschwindet die mechanische Energie? Begründe, warum sie gerade dann am schnellsten abnimmt, wenn Bobby am schnellsten ist. ③ Vergleiche die Form der Einhüllenden bei den Magneten, beim Wasser und auf dem Tisch. Welche ist eine Gerade? ④ Was ist beim Honig anders? Bobby schwingt überhaupt nicht mehr. Erkläre. ⑤ Auf dem Tisch bleibt Bobby neben der Ruhelage liegen. Warum? Prüfe: Die Amplitude nimmt pro Halbschwingung um 2 · F_R / D ab.

Station 2: Theo baut Bobby im Computer nach – Modellbildung

Theo glaubt nur, was er selbst ausgerechnet hat. Er zerlegt die Bewegung in kleine Zeitschritte Δt. Bobbys Zustand steckt in zwei Beständen: der Auslenkung s und der Geschwindigkeit v. Ihre Änderungsraten sind ds/dt = v und dv/dt = a = (−D · s + F_R) / m, wobei die Reibungskraft F_R der Geschwindigkeit entgegengerichtet ist. Das Reibungsgesetz kannst du austauschen. Beim Euler-Verfahren rechnet Theo s_neu = s + v · Δt und v_neu = v + a · Δt. Beim Euler-Cromer-Verfahren benutzt er für s_neu schon die neue Geschwindigkeit v_neu.

ω₀ · Δt–

Schritt–

Energie Modell / exakt–

größte Abweichung–

n	t in s	s in cm	v in m/s	F_R in N	a in m/s²	E in mJ	exakt s in cm

Reibungsgesetz

b0,50 kg/s

Bobby: m = 0,5 kg, D = 50 N/m, Start bei s = 6 cm, v = 0. Bei Gleitreibung bleibt Bobby liegen, sobald v das Vorzeichen wechselt und |D · s| ≤ F_R ist.

Rechenverfahren

Δt10 ms

Aufträge: ① Rechne die ersten zwei Schritte (Euler, F ~ v) mit dem Taschenrechner nach. ② Wähle „keine“ Reibung und das Euler-Verfahren. Was passiert mit Bobbys Energie? Wiederhole mit Euler-Cromer. Welches Verfahren ist für Schwingungen besser? ③ Verkleinere Δt schrittweise. Ab welchem Δt ist der Fehler kleiner als 1 mm? ④ Vergleiche die drei Reibungsgesetze. Woran erkennst du schon an der Kurve, welches Gesetz Theo eingestellt hat?

Station 3: Drei Bremsen, drei Gesetze – wie klingt Bobby ab?

Paul hat drei Bremsen so eingestellt, dass Bobby bei einer Startauslenkung von 6 cm nach derselben Zeit t_½ nur noch halb so weit ausschlägt. Trotzdem sehen die Kurven verschieden aus. Mit dem richtigen Diagramm wird jede Einhüllende zur Geraden. Daran erkennst du das Reibungsgesetz:

F_R = b · v: ŝ(t) = ŝ₀ · e^{−δ · t} mit der Abklingkonstanten δ = b / (2m). Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Maxima ist konstant, ln ŝ über t ist eine Gerade.
F_R = konstant: Die Amplitude nimmt pro Schwingung um 4 · F_R / D ab, ŝ über t ist eine Gerade.
F_R = k · v²: Bei schwacher Dämpfung wächst 1/ŝ pro Schwingung um etwa 8k / (3m), also gilt ŝ(t) ≈ ŝ₀ / (1 + κ · t). 1/ŝ über t ist eine Gerade.

n	t_n in s	ŝ_n in cm	ŝ_n−1 / ŝ_n	ŝ_n−1 − ŝ_n in cm	1/ŝ_n − 1/ŝ_n−1 in 1/cm

Bremsen einstellen

t_½4,0 s

Halbwertszeit bei 6 cm Startauslenkung. Daraus folgen b, k und F_R:

b–

k–

F_R–

ŝ₀6,0 cm

Amplituden-Diagramm

Tabelle für

Aufträge: ① Schalte nacheinander auf ŝ, ln ŝ und 1/ŝ. Welche Bremse liefert in welcher Darstellung eine Gerade? ② Lies für F ~ v aus der Tabelle den Quotienten ab. Berechne das logarithmische Dekrement Λ = ln(ŝ_n−1 / ŝ_n), daraus δ = Λ / T und t_½ = ln 2 / δ. ③ Ändere nur ŝ₀. Bei welcher Bremse bleibt die Halbwertszeit gleich? Bei welcher wird die Schwingung bei großer Amplitude stärker gedämpft? ④ Bei Gleitreibung bleibt Bobby nach endlicher Zeit stehen, bei den anderen beiden theoretisch nie. Begründe.

Station 4: Zappeln, flutschen oder kriechen – Schwingfall, Grenzfall, Kriechfall

Paul hat eine Wirbelstrombremse mit Drehregler gebaut. Damit kann er b und damit δ = b / (2m) frei einstellen. Für F_R = b · v lautet die Bewegungsgleichung s̈ + 2δ · ṡ + ω₀² · s = 0. Wie sich Bobby bewegt, entscheidet allein der Vergleich von δ mit ω₀ = 10 s⁻¹:

Schwingfall (δ < ω₀): s(t) = e^−δt · (s₀ · cos ω_dt + (v₀ + δ s₀) / ω_d · sin ω_dt) mit ω_d = √(ω₀² − δ²).
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω₀): s(t) = e^−δt · (s₀ + (v₀ + δ s₀) · t). Schnellste Rückkehr, ohne über die Ruhelage hinauszuschießen.
Kriechfall (δ > ω₀): s(t) = C₁ · e^λ₁t + C₂ · e^λ₂t mit λ_1,2 = −δ ± √(δ² − ω₀²). Bobby kriecht zurück, umso langsamer, je stärker gedämpft.

δ / ω₀–

ω_d und T_d–

Überschwingen–

in Ruhe (±2 %) nach–

Pauls Drehregler

δ4,0 s⁻¹

Start

Einhüllende ±s₀ · e^−δt (Schwingfall)

Aufträge: ① Erhöhe δ von 0 bis 30 s⁻¹. Beschreibe, wie sich die Bewegung ändert. Wie ändert sich die Periodendauer T_d, solange Bobby noch schwingt? ② Welcher Bobby ist am schnellsten (fast) in Ruhe? Vergleiche Grenzfall und Kriechfall: Mehr Dämpfung ist nicht automatisch schneller. ③ Suche das δ, bei dem dein Bobby am schnellsten im ±2-%-Band zur Ruhe kommt. Wie groß ist dabei das Überschwingen? Darum sind Zeiger von Messgeräten etwas schwächer als im Grenzfall gedämpft. ④ Ein Türschließer soll die Tür schnell schließen, ohne dass sie zurückfedert und gegen den Rahmen knallt. Welcher Fall passt?

Station 5: Pauls Rennpappe und die Bodenwelle – Stoßdämpfer

Paul fährt mit Mya und Kater Erwin in seinem alten Trabant über eine Bodenwelle. Die Karosserie aus Kunststoff (darum der Spitzname „Rennpappe“) sitzt auf Federn, und parallel zu jeder Feder sitzt ein Stoßdämpfer: ein Ölzylinder, in dem ein Kolben das Öl durch enge Ventile presst. Die Dämpferkraft ist ungefähr F = b · v_rel. Wir rechnen mit dem Viertelfahrzeug-Modell: Auf jedes Rad entfallen m = 180 kg (Trabi und Insassen zusammen 720 kg), die Feder hat D = 10,25 kN/m, also f₀ = 1,20 Hz. Das Rad folgt der Straße genau (der Reifen wird als starr betrachtet), Vorder- und Hinterachse schwingen unabhängig. Die Bodenwelle ist 1,5 m lang und 6 cm hoch.

größte Beschleunigung–

tiefster Punkt danach–

Nachwipper–

Kater Erwin–

Stoßdämpfer

Fahrt

v30 km/h

Beschleunigung statt Höhe

Aufträge: ① Fahre mit allen vier Stoßdämpfern über die Bodenwelle. Beschreibe jeweils, wie die Karosserie nachschwingt. ② Warum fällt ein Auto mit ausgelaufenen Stoßdämpfern beim TÜV durch? Denke an Kurven und Bremswege, wenn die Räder kaum noch Last tragen. ③ Der Grenzfall schwingt nicht nach, aber ist er auch am bequemsten? Vergleiche die größte Beschleunigung. Begründe, warum reale Autos etwa bei δ/ω₀ ≈ 0,2 bis 0,4 liegen. ④ Erwin hebt ab, wenn die Karosserie hinten mit mehr als g nach unten beschleunigt. Bei welchen Einstellungen passiert das? Warum hängt das vom Tempo ab?

Station 6: Die Messstation – Rätselbremse, Rätseltisch und Erwins Rohr

Jetzt wird gemessen wie im Praktikum. Ein Ultraschall-Bewegungssensor zeichnet 50 Messwerte pro Sekunde auf (Messunsicherheit etwa 0,3 mm). Paul hat drei Rätsel vorbereitet: Bei der Rätselbremse hat er die Magnete heimlich verschoben, beim Rätseltisch liegt Bobby auf einer unbekannten Unterlage. Und Kater Erwin hat sein HT-Rohr DN 50 (unten mit Sand beschwert, 400 g) in die Regentonne fallen lassen. Es schwimmt senkrecht. Die Auftriebskraft wirkt wie eine Feder mit D = ρ_W · g · A, und das Wasser dämpft. Erwin schwört, er habe es nur ganz leicht angestupst. Fahre mit Maus oder Finger über das Diagramm und notiere die Maxima. Entscheide, welches Reibungsgesetz vorliegt, und bestimme die gesuchte Größe.

Cursor t–

Cursor s–

bekannt–

notierte Werte–

Messtabelle der Umkehrpunkte

Nr.	t in s	s in cm	Δt zum vorigen in s	\|s_vorher\| / \|s\|	\|s_vorher\| − \|s\| in cm

Noch nichts notiert. Starte die Messung, setze den Cursor in die Nähe eines Maximums oder Minimums und tippe auf „Umkehrpunkt notieren“. Das Programm sucht den Extremwert in der Nähe.

Gesetz:

δ = s⁻¹

Messobjekt

Aufträge: ① Miss die Rätselbremse. Notiere mindestens fünf aufeinanderfolgende Maxima. Ist der Quotient oder die Differenz konstant? Bestimme δ und daraus b = 2m · δ. ② Miss den Rätseltisch. Notiere Maxima und Minima abwechselnd. Bestimme aus der Abnahme pro Halbschwingung Δŝ = 2 · μ_G · m · g / D die Gleitreibungszahl. ③ Miss Erwins Rohr. Bestimme δ. Prüfe außerdem mit der Periodendauer, ob D = ρ_W · g · A stimmt (Außendurchmesser 50 mm). ④ Warum ist es genauer, Maxima mit großem Abstand zu vergleichen, etwa das 1. und das 6., als zwei benachbarte?

Station 7: Rechne selbst

δ = s⁻¹

Tipps

F_R = b · v: δ = b / (2m), ŝ(t) = ŝ₀ · e^−δt, t_½ = ln 2 / δ.
Log. Dekrement: Λ = ln(ŝ_n / ŝ_n+1) = δ · T_d. Über n Perioden: δ = ln(ŝ₀ / ŝ_n) / (n · T_d).
ω₀ = √(D/m), ω_d = √(ω₀² − δ²), T_d = 2π / ω_d. Grenzfall: δ = ω₀, also b = 2 · √(D · m).
Gleitreibung: F_R = μ_G · m · g, Abnahme 2F_R/D pro Halbschwingung. Energie: E = ½ · D · ŝ².

Merke – gedämpfte Schwingungen:

Jede reale Schwingung ist gedämpft: Reibungskräfte zeigen gegen die Bewegungsrichtung und wandeln mechanische Energie in innere Energie (Wärme) um. Ursachen sind Luft- und Flüssigkeitsreibung, Gleitreibung, Wirbelströme, innere Reibung im Material der Feder und Reibung in Lagern. Die Gesamtenergie E = ½D s² + ½m v² nimmt ab, am schnellsten beim Durchgang durch die Ruhelage, weil dort v am größten ist.
Reibung proportional zu v (F_R = b · v: zähe Flüssigkeiten bei langsamer Bewegung, Wirbelstrombremse): Die Amplitude nimmt exponentiell ab, ŝ(t) = ŝ₀ · e^−δt mit δ = b / (2m). Aufeinanderfolgende Maxima haben einen konstanten Quotienten, das logarithmische Dekrement ist Λ = δ · T_d, die Halbwertszeit t_½ = ln 2 / δ hängt nicht von der Amplitude ab. Die Energie fällt mit e^−2δt.
Konstante Reibungskraft (Gleitreibung): Die Amplitude nimmt linear ab, um 2F_R / D pro Halbschwingung. Die Periodendauer bleibt T₀. Der Körper bleibt nach endlicher Zeit stehen, oft neben der Ruhelage, sobald die Federkraft die Haftreibung nicht mehr überwindet.
Reibung proportional zu v² (Luft- und Wasserwiderstand bei schneller Bewegung): Große Amplituden werden stark gedämpft, kleine kaum noch. Näherungsweise gilt ŝ(t) ≈ ŝ₀ / (1 + κ t).
Prüfmittel: Trage die Amplituden über t auf. Eine Gerade im Diagramm ŝ(t) bedeutet konstante Reibungskraft, eine Gerade bei ln ŝ(t) bedeutet F ~ v, eine Gerade bei 1/ŝ(t) bedeutet F ~ v².
Abklingverhalten bei F ~ v: Schwingfall für δ < ω₀ mit ω_d = √(ω₀² − δ²) < ω₀, aperiodischer Grenzfall für δ = ω₀ (schnellste Rückkehr ohne Überschwingen), Kriechfall für δ > ω₀ (langsames Zurückkriechen). Anwendungen: Stoßdämpfer (im Auto etwas schwächer als im Grenzfall), Zeiger von Messgeräten, Türschließer.
Modellbildung: Mit den Beständen s und v und a = (−D s + F_R) / m lässt sich jedes Reibungsgesetz schrittweise simulieren. Das einfache Euler-Verfahren erzeugt bei Schwingungen künstlich Energie. Abhilfe: kleines Δt (ω₀Δt ≪ 1) oder das Euler-Cromer-Verfahren.

Teste dich

Zum Schluss: Wahr oder geflunkert?

Bobby ist müde und erzählt im Halbschlaf Geschichten. Ein paar davon hat er geträumt. Welche?