Seit der großen Welle der Bobby-Bande sind Paul und Theo im Seilfieber. Jeder schüttelt an einem Ende eines langen Seils, beide gleichzeitig, beide gleich schnell. „Meine Welle ist schneller drüben!“ – „Nein, meine!“ Doch dann passiert etwas Seltsames: Das Seil wackelt wie wild, aber die Welle läuft nirgendwo mehr hin. Manche Stellen zappeln heftig, andere rühren sich überhaupt nicht. Mya holt ihr Maßband: „Das ist eine stehende Welle. Und die ruhigen Stellen verraten uns die Wellenlänge.“ Kater Erwin hat inzwischen gelernt, dass man sich unter einem Seil am besten dort hinlegt, wo es sich nicht bewegt. Wo das ist, muss er allerdings erst noch herausfinden.
Physik Klasse 12 (Leistungskurs), Thema mechanische Wellen: Entstehung stehender Wellen durch Überlagerung, Gleichung der stehenden Welle, Reflexion am festen und losen Ende (Phasensprung), Bäuche und Knoten, Eigenschwingungen eines Seils, Wellenlängenbestimmung (Melde-Versuch). Die Sprüche sind albern, die Physik nicht: Alle Bilder sind aus den Wellengleichungen mit den eingestellten Werten berechnet, die Eigenschwingungen in Station 3 und 4 mit einer schwachen Dämpfung. Vorher: mechanische Wellen, das Huygens'sche Prinzip und Reflexion, Brechung, Beugung und Interferenz.
Paul schüttelt am linken Ende, Theo am rechten, beide mit derselben Amplitude ŷ, Periode T und Wellenlänge λ. Das Bild zeigt drei Meter aus der Mitte des langen Seils. Beide Wellen überlagern sich, die Auslenkungen addieren sich. Tippe ins Bild, um Erwin dorthin zu schicken.
Theos Herleitung: Pauls Welle läuft nach rechts, Theos nach links:
y1 = ŷ · sin(ωt − kx), y2 = ŷ · sin(ωt + kx) mit k = 2π/λ, ω = 2π/T
Mit sin a + sin b = 2 · sin((a + b)/2) · cos((a − b)/2) wird daraus
y(x, t) = 2ŷ · cos(2πx/λ) · sin(2πt/T)
Orts- und Zeitanteil sind getrennt: Jeder Punkt schwingt mit derselben Periode, aber mit seiner eigenen Amplitude 2ŷ · |cos(2πx/λ)|. Nichts läuft mehr weiter.
Aufträge: ① Lass erst nur Paul, dann nur Theo schütteln, dann beide. Beschreibe den Unterschied. ② Schalte das Stroboskop ein. Wo sind die Knoten, wo die Bäuche? Wie groß ist der Abstand zweier Knoten? ③ Ändere λ. Wie hängt der Knotenabstand von λ ab? ④ Schick Erwin auf einen Knoten.
Eigentlich braucht man keinen zweiten Schüttler: Ein Seilende reflektiert die Welle, und die zurücklaufende Welle überlagert sich mit der ankommenden. Paul bindet das Seil rechts entweder an einen Haken in der Wand (festes Ende) oder an einen Ring, der reibungsfrei an Erwins senkrecht stehendem HT-Rohr auf und ab gleitet (loses Ende). Paul ist ein Profi: Was zu ihm zurückkommt, schluckt er mit der Hand weg, so dass man nur eine Reflexion sieht.
Festes Ende: Das Ende kann sich nicht bewegen. Die reflektierte Welle muss die einlaufende dort genau aufheben: Aus einem Berg wird ein Tal. Das ist ein Phasensprung um π (einen Gangunterschied von λ/2). Am Ende liegt immer ein Knoten.
Loses Ende: Das Ende schwingt frei. Ein Berg kommt als Berg zurück, ohne Phasensprung. Am Ende addieren sich beide Wellen, dort liegt ein Bauch mit doppelter Amplitude.
Trick mit der Spiegelwelle: Man denkt sich hinter dem Ende eine gleich große Welle, die entgegenläuft, am festen Ende umgedreht, am losen nicht.
Jetzt wird es ernst: Ein 2 m langes Seil ist links an Brummi, dem Getriebemotor, befestigt. Brummi schüttelt nur ein ganz kleines bisschen, das linke Ende ist also fast ein Knoten. Rechts ist das Seil fest oder lose. Bei den meisten Frequenzen passiert wenig. Nur bei ganz bestimmten Eigenfrequenzen passt die stehende Welle genau auf das Seil, und es schwingt riesig (Resonanz). Erwin schläft unter dem Seil. Tippe ins Bild, um ihn umzulegen.
Aufträge: ① Finde die ersten vier Eigenfrequenzen beim festen Ende und trage sie ein (die Tabelle füllt sich, wenn du eine triffst). Wie viele Bäuche gehören jeweils dazu? ② Zeige, dass L = n · λ/2 gilt, und leite fn = n · c/(2L) her. ③ Wiederhole mit losem Ende. Welche Bedingung gilt jetzt? ④ Spann das Seil straffer. Was passiert mit den Eigenfrequenzen? ⑤ Bei welchen Eigenschwingungen schläft Erwin in der Mitte ungestört?
Mya baut den klassischen Versuch von Franz Melde (1859) auf: Ein Faden der Länge L = 1,40 m wird links von einem Vibrator mit f = 50 Hz angeregt. Rechts läuft er über eine Rolle, und ein Wägestück spannt ihn mit der Kraft F = m · g. Der Faden hat die Massenbelegung μ = 1,0 g/m. Bei 50 Hz sieht man den Faden nur verschwommen als „Spindeln“. Die Knoten aber stehen still und lassen sich ausmessen. Ändere die Masse, bis sich eine saubere stehende Welle bildet. Zieh dann die beiden roten Messmarken auf zwei Knoten.
Erwin hat seinen Knoten gefunden und will endlich schlafen. Aber Paul und Theo haben noch ein paar Geschichten auf Lager. Erwin hört mit einem Ohr zu und glaubt höchstens die Hälfte.